UNIDAD 3: Ecuaciones Exponenciales

Ecuaciones Exponenciales

Es una ecuación en la cual  la incógnita se encuentra en el exponente de la potencia.

·         Para resolver una ecuación exponencial hay que tener en cuenta:

• a>0 ;a≠1
•      a(x¹ )=a(x² )→ x₁=x₂
• Las propiedades de las potencias

1. a0 = 1  
2. a1 = a 
3. a^-n=1/aⁿ 
4.     a^m/n= ⁿ√(a^m ) 
5.      a^m • aⁿ = a^m+n 
6.        a^m / aⁿ = a^{m – n} 
7.        (a^m)ⁿ = a^{m · n} 
8.      aⁿ • bⁿ = (a · b)ⁿ 
9.        aⁿ / bⁿ = (a / b)ⁿ

•     RECORDAR :

 

¿Cómo resolver?

Para su resolución existen dos métodos fundamentales:

• Reducción a una base común
• La logaritmación de ambos miembros de la ecuación
• REDUCCIÓN A UNA BASE COMÚN

Si ambos miembros de una ecuación se pueden representar como potencias de base a, de la igualdad de las potencias y de las bases se deduce que los exponentes deben ser iguales. Igualando los exponentes obtendremos una ecuación cuya resolución será fácil.
EJEMPLOS:

1.     ¿A cuánto es igual el logaritmo del número 27 en base 9?

SOLUCIÓN:

Planteamos: log₉27=x, es decir,9^x=27

Resolvamos: 

(3²)^x =3^{3 ---->} sustituciones 9= 3² y 27 = 3³

3^2x=3^{3 ---->} Propiedades de los exponentes

 2x= 3 --->  Igualar los exponentes

 x= 3/2 -----> Resolver la ecuación

        Representación Gráfica 

     LOGARITMACIÓN DE AMBOS MIEMBROS DE LA ECUACIÓN

Cuando no se puede representar los miembros de una ecuación en una misma base, es conveniente tomar logaritmos en los dos lados de la ecuación para llegar a una ecuación simple.

EJEMPLOS:

Resolver 4^x-1= 3^3x

SOLUCIÓN

Tomando los logaritmos base 4 en ambos miembros de la ecuación se obtiene:

·         log ₄(4^x-1) = log ₄(3^3x)---->Tomar logaritmos en ambos miembros

·         (x-1) log₄4=3x log₄3---->Logaritmo de una potencia

·         x-1=3xlog₄3 ----> Propiedad log₄4=1

·         x - 3xlog43= 1----> Aislar los miembros con x

·         x= 1/3xlog₄3----> Despejar x