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Aquí explicaremos lo que son las ecuaciones ,sus tipos y de que manera se puede hacer aplicaciones 


COMENCEMOS 

Integrantes

Integrantes :

• Carla Olmedo
• Diana Quillupangui 
• Karen Abril
• Oscar Catota 

Tercero de Bachillerato "C" 

INTRODUCCIÓN

ECUACIONES

1.1 Elementos de una ecuación

·   Se llama incógnita de una ecuación a las letras que intervienen en ellas

1.       3x²-x-7=22 : Ecuación con dos incógnitas, x e y
2.     4x(x²+1)-x=1: Ecuación con una incógnita x 

·     Llamamos grado de la ecuación al mayor de los exponentes con que figura la incógnita, después de realizar todas las operaciones que se indican en la ecuación. 

1.  2x-8=0 : Ecuación de grado 1 o de primer grado.
2. (x-5)(x-2)=0  ---> x²-7x+10=0 : Ecuación de grado 2 o de segundo grado.
3. x³-x+1=3:Ecuación de tercer grado o grado 3.

·En una ecuación, a la parte izquierda de la igualdad se le denomina PRIMER MIEMBRO y a la parte derecha, SEGUNDO MIEMBRO.

Cada miembro está formado por uno o mas sumandos que se denominan TÉRMINOS.

3x+7 (x-1)  =  2x+5- (x-1 )

Términos     Términos

    1º miembro   2º miembro 

Las SOLUCIONES de una ecuación son los valores de la incógnita que hacen que la igualdad sea cierta.

Para comprobar si un número es solución de una ecuación basta con sustituir la variable por dicho numero y operar. Si obtenemos el mismo valor en ambos miembros, ese  número es solución de la ecuación.

Una ecuación puede tener una, varias o ninguna solución.

1. x+1=0:  Tienen una única solución, x = -1
2. x²=4: Tiene dos soluciones x =2 y x = -2
3. x²=-1: No tiene solución, ya que no existe ningún número real que elevado al cuadrado, de un numero negativo.

Resolver una ecuación es encontrar su solución o soluciones 
¿Como hacer? -Completar la tabla 

·   

1.2 PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LAS ECUACIONES

Las siguientes propiedades conocidas como REGLA DE LA SUMA Y DEL PRODUCTO, respectivamente se utilizan para resolver ecuaciones.

Si a los dos miembros de una ecuación de primer grado se les suma o resta el mismo numero, o una expresión semejante a las que aparecen en la ecuación, se obtiene otra ecuación equivalente a la dada.

Si en los dos números de una ecuación, de primer grado se multiplica o divide por un mismo numero distinto de cero, se obtiene otra ecuación equivalente a la dada.

COMO HACER.

La solución de la ecuación x-4=10 es x=14 porque 14-4=10

Si sumamos 6 a los dos miembros de la ecuación:

x-4+6=10+6→x+2=16 

La ecuación x+2=16 es equivalente (14+2=16)

La solución de la ecuación 3x=12 es x=4 porque 3.4=12

Si dividimos por 6 los dos miembros:

3x/6=12/6→x/2=2 

             La ecuación obtenida es equivalente (4/2=2)

Representación gráfica 

1.3 Formas de Resolución 

TRANSPOSICIÓN DE TÉRMINOS

La transposición de términos es una técnica que nos permite resolver ecuaciones de manera sencilla. Con esta técnica se agrupan en un miembro todos los términos con x, y en otro, los términos independientes.

• Para resolver ecuaciones, podemos eliminar términos sumando, restando, multiplicando o dividiendo(por números distintos de cero) en los dos miembros.
• Para abreviar este proceso podemos hacer que un termino que aparece en un miembro, aparezca de forma inversa en el otro, es decir:
• Si esta sumando en un miembro, aparece restando en el otro, y si esta restando, aparece sumando.
• Si esta multiplicando en un miembro, aparece dividiendo en el otro, y si esta dividiendo, aparece multiplicando.

Siendo a y b términos independientes (números), y x la incógnita de la ecuación:

x+a=b→x=b-a

x-a=b→x=b+a

a.x=b→x=b/a

x/a=b→x=b.a

UNIDAD 1: ECUACIONES DE PRIMER GRADO Y ECUACIONES LINEALES

 ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Al resolver ecuaciones de primer grado, se va obteniendo ecuaciones cada vez mas sencillas hasta llegar a una expresión de la forma a.x = b, siendo a y b dos números.

Según los valores de a y b, podemos distinguir tres tipos de ecuaciones de primer grado:

Si a≠0,la solución es x=b/a

Decimos que la ecuación es COMPATIBLE, tiene una única solución.

Si a=0 y b≠0→0 .x=b

La ecuación no tiene solución, es una ecuación INCOMPATIBLE.

Si a=0 y b=0→0 .x=0

La ecuación es una IDENTIDAD, tiene infinitas soluciones.

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Resolver una ecuación es encontrar el valor de la incógnita que verifica la igualdad algebraica. Las ecuaciones mas complicadas requieren el uso de técnicas especificas, que junto con las que se ha mencionado anteriormente nos ayudan a resolverlas.

MÉTODO GENERAL DE RESOLUCIÓN:

Los pasos que hay que seguir en la resolución de ecuaciones son:

1º Eliminar paréntesis.

2º Reducir términos semejantes ( si los hubiera)

3º Transponer términos

4º Reducir los términos semejantes.

5º Despejar la incógnita y hallar su valor numérico.

COMO HACER:

2x-3=6+x

•   Agrupamos los términos semejantes y los independientes, y sumamos:

2x-x= 6+3    x=9

2(2x-3)= 6+x

•      Quitamos paréntesis: 4x-6=6+x

•  Agrupamos términos y sumamos:  4x-x=6+6    3x=12 

•         Despejamos la incógnita: 

x= 12/3     x=4

UNIDAD 2: Ecuaciones Cuadráticas

ECUACIONES CUADRÁTICAS

Una ecuación de segundo grado con una incógnita es una igualdad algebraica que se puede expresar de la forma ax²+bx+c=0,siendo a,b y c números reales y a≠0.

EXPRESIÓN GENERAL

La expresión general de una ecuación de segundo grado es: ax2+bx+c=0 donde a,b y c son números reales y a≠0.

ax² es el término cuadrático,bx es el término lineal y c es el término independiente.

ax2+bx+c=0 es un polinomio de segundo grado igualado a cero.

Para resolver una ecuación de segundo grado es conveniente expresarla primero en forma general, pasando todos los términos al miembro de la izquierda y reduciendo después los términos semejantes.

EJEMPLO:    

9x2 + 6x + 10         a = 9, b = 6, c = 10

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO COMPLETAS

Una ecuación de segundo grado es completa cuando todos sus coeficientes son distintos de cero, es decir, si b y c son distintos de cero

Para obtener sus soluciones utilizamos la siguiente fórmula: x= -b±√(b² -4ac ))/2a 

El doble signo + y – indica que pueden existir dos soluciones:

 x= -b+√(b² -4ac ))/2a  

x= -b-√(b² -4ac ))/2a 

EJEMPLO:

x²-5x+6=0

ESTUDIO DEL NUMERO DE SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

• ∆=b^2-4ac>0 la ecuación tiene dos soluciones distintas
• ∆=b^2-4ac=0 la ecuación tiene una solución doble o raíz doble
• ∆=b^2-4ac<0 no existe la raíz cuadrada √(b^2 )-4ac y la ecuación no tiene soluciones reales

Representación gráfica 

2.1 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO INCOMPLETAS

A partir de la expresión general de la ecuación de segundo grado ax^2+bx+c=0 aparecen varios casos concretos y sus soluciones.

Son los casos en que b=0 o c=0, y entonces decimos que la ecuación es incompleta.

Una ecuación de segundo grado es incompleta cuando alguno de los coeficientes: b o c, o ambos, son iguales a cero, por tanto podemos encontrarnos con tres tipos de ecuaciones de segundo grado incompletas.

RESOLUCIÓN
1. ax²= 0 

La solución es x = 0.

Ejemplos:

2x²=0    x=0

2/5x²=0   x=0  

ax² + bx = 0

Extraemos factor común x: x(ax+b)=0

Como tenemos un producto igualado a cero o un factor es cero o el otro factor es cero o los dos son cero.

 x=0

ax+b=0   x=-b/a

 Ejemplos :

• x²-5x=0 

 x(x-5)=0

x=0

x-5=0   x=5

• 2x²-6x=0

 2x(x-3)=0
2x=0 x=0 
x-3=0  x=3 

3. ax² + c = 0

• 1. En primer lugar pasamos el termino c al segundo miembro cambiado de signo. 
• 2. Pasamos el coeficiente a al 2 miembro,dividiendo. 
• 3. Se efectúa la raíz cuadrada en los dos miembros. 

PROBLEMAS:

Determinar un numero entero tal que el cuadrado del antecesor de su doble sea equivalente al cuadrado del numero aumentado en 5. 
Solución:
Sea x el numero entero,entonces el enunciado se traduce en (2x-1) 2 =  x²+ 5
Ordenando y reduciendo,se obtiene la ecuación cuadrática 3x² – 4x – 4 = 0
Ahora utilizamos la formula,con a = 3 , b = -4 y c = -4 
Luego,las soluciones de la ecuación son: X1 =0 y X2 = 2. Pero el numero que estamos buscando debe ser entero,por lo tanto la solución es x=2  

Representación Gráfica :

UNIDAD 3: Ecuaciones Exponenciales

Ecuaciones Exponenciales

Es una ecuación en la cual  la incógnita se encuentra en el exponente de la potencia.

·         Para resolver una ecuación exponencial hay que tener en cuenta:

• a>0 ;a≠1
•      a(x¹ )=a(x² )→ x₁=x₂
• Las propiedades de las potencias

1. a0 = 1  
2. a1 = a 
3. a^-n=1/aⁿ 
4.     a^m/n= ⁿ√(a^m ) 
5.      a^m • aⁿ = a^m+n 
6.        a^m / aⁿ = a^{m – n} 
7.        (a^m)ⁿ = a^{m · n} 
8.      aⁿ • bⁿ = (a · b)ⁿ 
9.        aⁿ / bⁿ = (a / b)ⁿ

•     RECORDAR :

 

¿Cómo resolver?

Para su resolución existen dos métodos fundamentales:

• Reducción a una base común
• La logaritmación de ambos miembros de la ecuación
• REDUCCIÓN A UNA BASE COMÚN

Si ambos miembros de una ecuación se pueden representar como potencias de base a, de la igualdad de las potencias y de las bases se deduce que los exponentes deben ser iguales. Igualando los exponentes obtendremos una ecuación cuya resolución será fácil.
EJEMPLOS:

1.     ¿A cuánto es igual el logaritmo del número 27 en base 9?

SOLUCIÓN:

Planteamos: log₉27=x, es decir,9^x=27

Resolvamos: 

(3²)^x =3^{3 ---->} sustituciones 9= 3² y 27 = 3³

3^2x=3^{3 ---->} Propiedades de los exponentes

 2x= 3 --->  Igualar los exponentes

 x= 3/2 -----> Resolver la ecuación

        Representación Gráfica 

     LOGARITMACIÓN DE AMBOS MIEMBROS DE LA ECUACIÓN

Cuando no se puede representar los miembros de una ecuación en una misma base, es conveniente tomar logaritmos en los dos lados de la ecuación para llegar a una ecuación simple.

EJEMPLOS:

Resolver 4^x-1= 3^3x

SOLUCIÓN

Tomando los logaritmos base 4 en ambos miembros de la ecuación se obtiene:

·         log ₄(4^x-1) = log ₄(3^3x)---->Tomar logaritmos en ambos miembros

·         (x-1) log₄4=3x log₄3---->Logaritmo de una potencia

·         x-1=3xlog₄3 ----> Propiedad log₄4=1

·         x - 3xlog43= 1----> Aislar los miembros con x

·         x= 1/3xlog₄3----> Despejar x

UNIDAD 4: Ecuaciones Logarítmicas

Ecuaciones Logarítmicas

ECUACIONES LOGARÍTMICAS: Son aquellas  ecuaciones que tienen la incógnita bajo el símbolo de logaritmo.Para resolver ecuaciones logarítmicas hay que tomar en cuenta:

1.Las propiedades de los logaritmos:
Logaritmo de la unidad: Log_a1=0 
Igualdad de logaritmos: Si M=N, entonces  log_aM=log_aN
Logaritmo de un producto: log_a(MN)=log_aM+log_aN
Logaritmo de un cociente: log_a M/N=log_aM- log_aN 
Logaritmo de una potencia: log_aN^p=plog_aN 
Logaritmo de una raíz:  log _a ^q√N=^1/q log_aN 

• Inyectividad del logaritmo : log_ax=log_ay---> x=y
• Definición de logaritmo: x=log_ab--->a^x=b
•  Comprobar las soluciones para verificar que no hayan logaritmos nulos o negativos.

     RECORDAR 

    PARA RESOLVER: 

EJEMPLOS:

Resolver la ecuación :  log _1/8 √x=-1

SOLUCIÓN:

• Planteamos: log _1/8(1/3)^-1=-1; por lo tanto
• log _1/8√x=-1
• log _1/8√x=log _1/8(1/3)^-1--> sustituir -1 por log _1/8 (1/3)^-1
• √x= (1/3)^-1--->Eliminar los logaritmos en ambos miembros
• √x=3----> Inverso del numero
• x=9----> Elevar al cuadrado 

Representación Gráfica

TOMAR EN CUENTA 

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Ecuaciones_exponenciales_logaritmicas/Ecuaciones_logaritmicas.htm