ECUACIONES CUADRÁTICAS
Una ecuación de segundo grado con una incógnita es una igualdad algebraica que se puede expresar de la forma ax2+bx+c=0,siendo a,b y c números reales y a≠0.
EXPRESIÓN GENERAL
La expresión general de una ecuación de segundo grado es: ax2+bx+c=0 donde a,b y c son números reales y a≠0.
ax2 es el término cuadrático,bx es el término lineal y c es el término independiente.
ax2+bx+c=0 es un polinomio de segundo grado igualado a cero.
Para resolver una ecuación de segundo grado es conveniente expresarla primero en forma general, pasando todos los términos al miembro de la izquierda y reduciendo después los términos semejantes.
EJEMPLO:
9x2 + 6x + 10 a = 9, b = 6, c = 10
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO COMPLETAS
Una ecuación de segundo grado es completa cuando todos sus coeficientes son distintos de cero, es decir, si b y c son distintos de cero
Para obtener sus soluciones utilizamos la siguiente fórmula: x= -b±√(b2 -4ac ))/2a
El doble signo + y – indica que pueden existir dos soluciones:
x= -b-√(b2 -4ac ))/2a
EJEMPLO:
x2-5x+6=0
ESTUDIO DEL NUMERO DE SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
- ∆=b^2-4ac>0 la ecuación tiene dos soluciones distintas
- ∆=b^2-4ac=0 la ecuación tiene una solución doble o raíz doble
- ∆=b^2-4ac<0 no existe la raíz cuadrada √(b^2 )-4ac y la ecuación no tiene soluciones reales
2.1 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO INCOMPLETAS
A partir de la expresión general de la ecuación de segundo grado ax^2+bx+c=0 aparecen varios casos concretos y sus soluciones.
Son los casos en que b=0 o c=0, y entonces decimos que la ecuación es incompleta.
Una ecuación de segundo grado es incompleta cuando alguno de los coeficientes: b o c, o ambos, son iguales a cero, por tanto podemos encontrarnos con tres tipos de ecuaciones de segundo grado incompletas.
1. ax2= 0
La solución es x = 0.
Ejemplos:
2x2=0 x=0
2/5x2=0 x=0
ax2 + bx = 0
Extraemos factor común x: x(ax+b)=0
Como tenemos un producto igualado a cero o un factor es cero o el otro factor es cero o los dos son cero.
x=0
ax+b=0 x=-b/a
Ejemplos :
- x2-5x=0
x(x-5)=0
x=0
x-5=0 x=5
- 2x2-6x=0
2x(x-3)=0
2x=0 x=0
x-3=0 x=3
2x=0 x=0
x-3=0 x=3
3. ax2 + c = 0
- 1. En primer lugar pasamos el termino c al segundo miembro cambiado de signo.
- 2. Pasamos el coeficiente a al 2 miembro,dividiendo.
- 3. Se efectúa la raíz cuadrada en los dos miembros.
PROBLEMAS:
Determinar un numero entero tal que el cuadrado del antecesor de su doble sea equivalente al cuadrado del numero aumentado en 5.
Solución:
Sea x el numero entero,entonces el enunciado se traduce en (2x-1) 2 = x2+ 5
Ordenando y reduciendo,se obtiene la ecuación cuadrática 3x2 – 4x – 4 = 0
Ahora utilizamos la formula,con a = 3 , b = -4 y c = -4
Luego,las soluciones de la ecuación son: X1 =0 y X2 = 2. Pero el numero que estamos buscando debe ser entero,por lo tanto la solución es x=2
Solución:
Sea x el numero entero,entonces el enunciado se traduce en (2x-1) 2 = x2+ 5
Ordenando y reduciendo,se obtiene la ecuación cuadrática 3x2 – 4x – 4 = 0
Ahora utilizamos la formula,con a = 3 , b = -4 y c = -4
Luego,las soluciones de la ecuación son: X1 =0 y X2 = 2. Pero el numero que estamos buscando debe ser entero,por lo tanto la solución es x=2
Representación Gráfica :
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